数学知识

点乘

A向量 在 B向量 上的投影乘以 B向量 的长度

叉乘

垂直于 AB向量平面的单位向量（紫色向量）

三角函数

毕达哥拉斯定理（勾股定理）

命题：在一个直角三角形中，斜边的平方等于其他两边的平方之和

\(a^2 + b^2 = c^2\)

复数

• 虚数：i
  • 虚数：\(i^2=-1\)
• 复数包含实数和虚数
  • 复数：$z=a+bi$
• 复平面：水平的实轴与垂直的虚轴建立起来的复数的几何表示

模

• 复数的模
  • 设复数为：\(z=a+bi\)
  • 复数 z 的模：\(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
  • 集合意义为：复平面上一点 (a,b) 到原点的距离
• 取模运算
  • 取余数
  • 例：100%17=15

∑（西格玛）

求和符号 $$\sum_{i=1}^n f(i)$$ 下标 “i” 为起始值 上标 “n” 为结束值 右边 “$f(i)$” 为求和对象：为一个包含 “i” 的函数 求和过程为：将求和对象 “\(f(i)\)” ​的值从起始值 “i=1” 到结束值 “i=n” 相加，得到最终的求和结果 $$\sum_{i=1}^5 i$$ 计算过程等于：1+2+3+4+5=15

幂（power）

乘方运算的结果 $2^3$ 等于 2 的 3 次幂 等于 2 的 3 次方 2 为“底数” 3 为“指数”

数

自然数（N）

0，1，2，3 …

正整数集（${N^+}$ or ${N^*}$）

1，2，3，4…

整数集（Z）

-2，-1，0，1，2…

有理数集（Q）

非无限不循环小数，如：$\pi$ 、$\sqrt{2}$

实数（R）

正数，0，复数（包含小数）

四元数

表示为：a+bi+cj+dk = w、x、y、z 其中 i、j、k 为虚数 通过四维空间描述三维旋转的方法 x、y、z 可以理解为三轴的权重 w 为 靠近圆心的比值 1 为圆形，0为球面，-1为无穷远

矩阵

左乘

表示向量坐标变换至矩阵坐标系（向量坐标改变）

$$ \begin{bmatrix} a1 & a2 & a3\\ b1 & b2 & b3\\ c1 & c2 & c3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} =x \begin{bmatrix} a1\\ b1\\ c1 \end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} a2\\ b2\\ c2 \end{bmatrix} +z \begin{bmatrix} a3\\ b3\\ c3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} xa1 & ya2 & za3\\ xb1 & yb2 & zb3\\ xc1 & yc2 & zc3 \end{bmatrix} $$

右乘

表示在矩阵坐标系中向量的坐标（向量坐标不变） $$
\begin{bmatrix}
x \\ y \\ z
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3
\end{bmatrix} =x
\begin{bmatrix}
a1 \\ a2 \\ a3
\end{bmatrix} +y
\begin{bmatrix}
b1 \\ b2 \\ b3
\end{bmatrix} +z
\begin{bmatrix}
c1 \\ c2 \\ c3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
xa1 + yb1 + zc1 \\ xa2 + yb2 + zc2 \\ xa3 + yb3 + zc3
\end{bmatrix}
$$

傅里叶变换

对时域的频域拆解 时域：信号的时间变化 频域：信号分解出的信号（三角函数正弦信号） 相位：起始点位置 振幅：波动的强度 低频（决定轮廓） 高频（决定细节）